В данной работе рассмотрим только такие кривые (1), порядок которых деr лится на 2. Легко доказать, что в таком случае кривая обязательно имеет точку второго порядка (в частности, это следует из теоремы Силова). Согласно (2) точr ка P xy=(,) 1 1 будет точкой второго порядка тогда и только тогда, когда y1 0=(в этом случае при вычислении точки 2P в (2) возникает деление на 0), т. е. точка второго порядка будет иметь координаты (,) c 0, для некоторого c Fp Î. Подставr ляя в уравнение кривой (1) значение y= 0, получаем, что ñ―корень уравнения x ax b 3 0++= в поле Fp (который обязательно существует вследствие существоr вания точки второго порядка). Тогда в приведенных обозначениях уравнение (1) можно переписать в виде y xcx cx ac 2 2 2=-+++()(), b c ac c Fp=--Î 3,.(3)

Как упоминалось ранее, кривая в канонической форме изоморфна кривой Эдвардса в том и только том случае, если она содержит ровно две точки четверr того порядка. Следующая теорема дает необходимые и достаточные условия (в терминах параметров кривой (1)) существования на кривой Ep ровно двух таких точек.